格密码 Lattice-based Cryptography
格密码是利用格上的计算困难问题构造密码方案的研究方向。数学中的“格”（lattice），是由一组线性无关向量的所有整数线性组合构成的离散点集。它在二维中可以直观地画出来，但在高维空间中，最短向量问题（Shortest Vector Problem，SVP）和最近向量问题（Closest Vector Problem，CVP）等涉及复杂的计算困难性。前者寻找格中最短的非零向量，后者寻找距离给定点最近的格点。格密码研究如何利用这些困难性建立安全机制。参见 Micciancio 与 Regev 的综述。
格密码是后量子密码（Post-quantum Cryptography，PQC）的重要研究方向。它希望在攻击者拥有量子计算机的情况下，仍能保护信息安全。
2024 年，美国国家标准与技术研究院（National Institute of Standards and Technology，NIST）发布了两项基于模格（module lattice）的标准：基于模格的密钥封装机制（Module-Lattice-Based Key-Encapsulation Mechanism，ML-KEM）和基于模格的数字签名算法（Module-Lattice-Based Digital Signature Algorithm，ML-DSA）。这体现了格密码从理论研究走向实际应用的发展。参见 NIST 标准介绍。
这一领域连接了数学、算法与密码学：既研究格的几何性质和格算法，也研究短整数解问题（Short Integer Solution Problem，SIS）、带误差学习问题（Learning with Errors，LWE）等计算问题，以及基于这些问题的密码构造和安全性分析。格密码还为全同态加密（Fully Homomorphic Encryption，FHE）提供了重要的构造工具，使得直接在加密数据上进行计算成为可能。参见加州大学圣迭戈分校（University of California San Diego，UCSD）的格算法与密码学课程。
研究进展与活跃问题
截至
主要进展
格密码已形成以 SIS、LWE 及其结构化变体为核心的理论框架。在特定条件下，这些问题的平均情况困难性（average-case hardness）可以通过归约（reduction）与某些格问题的最坏情况困难性（worst-case hardness）联系起来，为密码构造提供安全性依据。基于格的构造也已支持全同态加密、身份基加密（Identity-Based Encryption，IBE）和属性基加密（Attribute-Based Encryption，ABE）等功能。相关综述。
标准化是另一项重要进展：NIST 已发布基于模格的ML-KEM和ML-DSA标准。前者是密钥封装机制（Key-Encapsulation Mechanism，KEM），用于让双方通过公开信道建立共享秘密密钥；后者是数字签名方案，用于验证消息由对应私钥的持有者签署，并检测内容是否被修改。这些标准统一规定了算法、参数和数据格式。
活跃研究问题
- 格算法与具体安全性（concrete security）。研究格约化（lattice reduction）、筛法（lattice sieving）及经典攻击和量子攻击的效率，分析具体维数、模数和误差分布下的攻击成本。代表性资料包括格密码攻击综述和2026 年量子离散高斯采样（Discrete Gaussian Sampling，DGS）预印本。
- 更紧致的安全证明与高效构造。减少安全归约中的定量损失，使方案的安全保证更接近底层困难问题，同时兼顾计算和通信效率。例如，国际密码学会议（Annual International Cryptology Conference，CRYPTO）2026 有工作在随机预言机模型（Random Oracle Model，ROM）中，构造了针对搜索型模带误差学习问题（Module Learning with Errors，Module-LWE）具有紧致归约（tight reduction）、方案本身无需陷门（trapdoor）的格签名。相关论文。
- 格陷门与采样方法。研究原像采样（preimage sampling）、采样分布与安全性之间的关系，以及替代离散高斯分布的构造方法。CRYPTO 2026 的一项工作利用多面体上的采样构造原像可采样函数族（preimage sampleable function families），为这类基础工具提供了新的方法。相关论文。
- 复杂密码协议与密文计算。降低格阈值签名（threshold signature）的交互和通信成本，以及加速全同态加密中的自举（bootstrapping）与矩阵运算，都是活跃问题。近期例子包括Oriole 格阈值签名方案预印本和CRYPTO 2026 矩阵运算自举研究。
- 实现效率与侧信道安全（side-channel security）。研究如何在控制运行时间和资源开销的同时，防止功耗、运行时间等信息泄漏。离散高斯采样的掩码防护（masking）是其中一类问题，公钥密码学实践与理论国际会议（International Conference on Practice and Theory of Public-Key Cryptography，PKC）2026 的 Maskaglia 工作提出了更高效的掩码采样方法。相关论文。
基础文献
-
Lattice-based Cryptography
介绍格的基本定义、典型计算问题、格算法，以及密码构造与安全性。
-
The Learning with Errors Problem
通过带噪声的模线性方程介绍 LWE，讨论其定义、困难性及密码应用。
-
A Decade of Lattice Cryptography
系统梳理格密码的基础与发展，涵盖格的数学背景、SIS 和 LWE 问题及其密码应用。
-
Generating Hard Instances of Lattice Problems
建立格问题最坏情况与平均情况困难性之间的联系，是理解格密码安全性理论的重要起点。
-
On Lattices, Learning with Errors, Random Linear Codes, and Cryptography
提出 LWE 问题，给出从最坏情况格问题到 LWE 的量子归约，并构造基于 LWE 的公钥加密（Public-Key Encryption，PKE）方案。链接为期刊版作者稿。